Vamos allá.
Para empezar, veamos el caso más simple, tirando sólo un dado. Cada valor del dado tiene la misma probabilidad de salir. Como tenemos 6 posibles resultados, la probabilidad total se distribuye equitativamente entre los 6 valores. A esto se le conoce una función de probabilidad uniforme discreta. La función lo que hace es relacionar el resultado del evento, en este caso, el valor del dado, con la probabilidad de que dicho evento suceda. La función de probabilidad es, en este caso, 1/6 para los 6 posibles valores.
Ahora, calculemos la probabilidad de que, lanzando dos dados, se obtenga el mismo resultado (se empate). ¿Cómo lo hacemos? Tenemos que sumar la probabilidad de que saquemos dos unos, con la probabilidad de que saquemos dos doses, con la de dos treses, etc. La probabilidad de sacar dos veces el mismo número es fácil de ver. Para sacar un uno, tenemos 1/6 de posibilidades, pues para sacar el segundo uno, necesitamos 1/6 * 1/6, es decir, la probabilidad al cuadrado. Esto se repite idénticamente con los otros cinco números, así que la suma es 1/6 * 1/6 *6 = 1/6, igual que ha comentado el resto arriba. Lo que hay que tener claro es que la probabilidad de que dos tiradas sean iguales es la suma de todas las probabilidades al cuadrado:
Esto se cumple siempre, para cualquier número de dados que se lancen. Para el caso de un sólo dado, es trivial ver que es 1/6, pero necesitamos este resultado para no hacernos un lío más adelante.
Ahora, veamos que sucede cuando lanzamos dos dados y sumamos el resultado. En primer lugar, vemos que la suma puede ir de 2 (lanzar dos unos) a 12 (lanzar dos seises). Pero la probabilidad ha dejado de ser uniforme. Sólo hay una forma de obtener el 2 (lanzando 1 - 1), pero para obtener el 4 tenemos 3 formas distintas (lanzando 1 - 3, 2 - 2 ó 3 - 1). Nos toca calcular la función de probabilidad para este caso. La forma más sencilla es ir analizando caso a caso y sumando las repeticiones. Por último, se divide por el total de combinaciones, que es 6·6 = 36 (De forma genérica, 6 ^ n_dados).
P(2) = 1 / 36
P(3) = 2 / 36
P(4) = 3 / 36
P(5) = 4 / 36
P(6) = 5 / 36
P(7) = 6 / 36
P(8) = 5 / 36
P(9) = 4 / 36
P(10) = 3 / 36
P(11) = 2 / 36
P(12) = 1 / 36
Ya tenemos la distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de empatar? Pues gracias al resultado anterior, sabemos que la probabilidad de sacar dos tiradas iguales es sumar los cuadrados de la distribución. Lo hacemos y obtenemos una probabilidad 0.1127.
Usamos otro dado. Con 3 dados, los posibles resultados de la suma van desde 3 (lanzar 3·1) a 18 (3·6). Ya de forma genérica, podemos afirmar que el espectro de resultados va desde n_dados * 1 a n_dados * 6. Actuando de la misma forma que antes, se puede calcular la función de distribución. El problema es que ya hablamos de 216 combinaciones que analizar (63) , por lo que a mano ya es un suplicio. Lo mejor es, bien programarlo, que es bastante fácil, o calcular la función de probabilidad analítica (algo nada trivial). Sea como sea (lo que enseño ahora se ha obtenido analizando combinaciones), se obtiene lo siguiente:
P(3) = 1 / 216
P(4) = 3 / 216
P(5) = 6 / 216
P(6) = 10 / 216
P(7) = 15 / 216
P(8) = 21 / 216
P(9) = 25 / 216
P(10) = 27 / 216
P(11) = 27 / 216
P(12) = 25 / 216
P(13) = 21 / 216
P(14) = 15 / 216
P(15) = 10 / 216
P(16) = 6 / 216
P(17) = 3 / 216
P(18) = 1 / 216
Calculamos la probabilidad de empatar y se obtiene 0.0928. Antes de seguir, vamos a pausar para observar algo. La distribución de probabilidad es una función, así que se puede representar gráficamente. Si lo hiciéramos con la de un dado, como es uniforme, obtendríamos una línea horizontal. Vamos a representar la de 3 dados que acabamos de obtener:
Quizá alguien reconozca lo que se representa. Esta distribución de probabilidad se parece sospechosamente a la distribución normal. Me voy a adelantar para mostrar más pistas. En la siguiente gráfica se representan todas las funciones de distribución de probabilidad hasta 12 dados, pero normalizadas para que puedan verse juntas en la misma escala. Para ello, se ha normalizado el eje X a [-1, 1] y se ha escalado el eje Y a [0,1]. De esa forma, podemos comparar las funciones entre sí.
Conforme se aumenta la cantidad de dados que se usan, la distribución se asemeja a una misma figura:
En esta gráfica he superpuesto la distribución normal (también conocida como Campana de Gauss, descubierta por alguien, que, casualmente, tenía el mismo nombre). La distribución normal sigue esta expresión (de forma simplificada):
¿Y por qué surge este bicho de Satán? Estábamos trabajando con una distribución uniforme y con combinatoria. ¿Por qué el resultado tiene que parecerse a la función normal? Pues es uno de los resultados más importantes, no sólo de la probabilidad, si no de las matemáticas. Cuando hacemos la suma de una cantidad importante de variables independientes y aleatorias, la función de probabilidad de esa suma tiende a la distribución normal. Siempre.
A este resultado se lo conoce como Teorema Central del Límite, y es indispensable para toda la ciencia experimental. Da igual lo que se mida, que si la variable que se mide es independiente y aleatoria, va a seguir la distribución normal si se toman las suficientes muestras. Desde la distribución del Cociente Intelectual a la duración de las meadas de una persona. Gracias a ello podemos saber el error que se comete midiendo, si alguna muestra es errónea o si nuestra teoría es errónea. Si lo que obtenemos no es compatible con una distribución normal, algo hemos hecho mal.
Bien, volvamos a los dados. Podemos seguir calculando probabilidades para más dados. Si hemos hecho un programa que analice las combinaciones, pronto nos encontraremos un problema: muchas combinaciones. Demasiadas. Para 15 dados, hablas de 615 = 4.7018·1011 combinaciones (casi cinco mil billones). Necesitamos otra estrategia. Lo mejor es conseguir la función de distribución analítica, es decir, la solución general del problema. Lo malo es que se necesita saber de probabilidad avanzada, y es complicado. Como esto ya está siendo muy largo, voy a plantar la solución, como si fuera profesor de física:
"n" es el número de dados que se usa en cada tirada, "S" es el número de caras del dado (lo he calculado con número de caras genérico) y T es el valor posible de la tirada. Como hemos dicho antes, el valor puede ir desde n (lanzar n unos) a n·S (lanzar n veces S, que es el valor máximo).
Con esta ecuación se puede calcular la probabilidad de cualquier tirada con cualquier cantidad de dados de cualquier cantidad de caras.
Usando esta función de probabilidad, se puede calcular la función de probabilidad para una cantidad de dados alta, y como sabemos calcular la probabilidad de sacar dos tiradas idénticas, podemos representar como varía la probabilidad conforme vamos añadiendo dados:
Así que, respondiendo a tu pregunta, no, es una mala estrategia añadir dados y sumar sus valores. En contra de lo que indica la intuición, la probabilidad de empatar apenas disminuye.
