Tengo una duda a ver si alguien experto (o no) estadístico puede contestar. Os pongo en contexto, jugando a un juego de mesa en el que somos 4 jugadores, a la hora de elegir quién empieza usamos dados de 6, el que obtiene la tirada más alta empieza. Hay algo que "retrasa" un poco al elegir este método y es cuando hay empates en la tirada más alta, que los dos (o tres, o cuatro) vuelven a tirar y así hasta que haya un claro ganador. Entonces creemos que para evitar esto lo suyo es tirar más dados, por ejemplo 2 y los empates se producirían solo si la suma de ambos dados es igual (6-1 y 5-2 es empate). La cosa es que aún así se producen empates con lo que hemos empezado a optar por tirar 3 dados cada uno, pero veo que sigue habiendo. Mi pregunta es, ¿cuánto de cierto hay en que tirando más dados se reduce la probabilidad de empatar en la tirada más alta?

Vamos allá. Para empezar, veamos el caso más simple, tirando sólo un dado. Cada valor del dado tiene la misma probabilidad de salir. Como tenemos 6 posibles resultados, la probabilidad total se distribuye equitativamente entre los 6 valores. A esto se le conoce una función de probabilidad uniforme discreta. La función lo que hace es relacionar el resultado del evento, en este caso, el valor del dado, con la probabilidad de que dicho evento suceda. La función de probabilidad es, en este caso, 1/6 para los 6 posibles valores. Ahora, calculemos la probabilidad de que, lanzando dos dados, se obtenga el mismo resultado (se empate). ¿Cómo lo hacemos? Tenemos que sumar la probabilidad de que saquemos dos unos, con la probabilidad de que saquemos dos doses, con la de dos treses, etc. La probabilidad de sacar dos veces el mismo número es fácil de ver. Para sacar un uno, tenemos 1/6 de posibilidades, pues para sacar el segundo uno, necesitamos 1/6 * 1/6, es decir, la probabilidad al cuadrado. Esto se repite idénticamente con los otros cinco números, así que la suma es 1/6 * 1/6 *6 = 1/6, igual que ha comentado el resto arriba. Lo que hay que tener claro es que la probabilidad de que dos tiradas sean iguales es la suma de todas las probabilidades al cuadrado: Esto se cumple siempre, para cualquier número de dados que se lancen. Para el caso de un sólo dado, es trivial ver que es 1/6, pero necesitamos este resultado para no hacernos un lío más adelante. Ahora, veamos que sucede cuando lanzamos dos dados y sumamos el resultado. En primer lugar, vemos que la suma puede ir de 2 (lanzar dos unos) a 12 (lanzar dos seises). Pero la probabilidad ha dejado de ser uniforme. Sólo hay una forma de obtener el 2 (lanzando 1 - 1), pero para obtener el 4 tenemos 3 formas distintas (lanzando 1 - 3, 2 - 2 ó 3 - 1). Nos toca calcular la función de probabilidad para este caso. La forma más sencilla es ir analizando caso a caso y sumando las repeticiones. Por último, se divide por el total de combinaciones, que es 6·6 = 36 (De forma genérica, 6 ^ n_dados). P(2) = 1 / 36 P(3) = 2 / 36 P(4) = 3 / 36 P(5) = 4 / 36 P(6) = 5 / 36 P(7) = 6 / 36 P(8) = 5 / 36 P(9) = 4 / 36 P(10) = 3 / 36 P(11) = 2 / 36 P(12) = 1 / 36 Ya tenemos la distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de empatar? Pues gracias al resultado anterior, sabemos que la probabilidad de sacar dos tiradas iguales es sumar los cuadrados de la distribución. Lo hacemos y obtenemos una probabilidad 0.1127. Usamos otro dado. Con 3 dados, los posibles resultados de la suma van desde 3 (lanzar 3·1) a 18 (3·6). Ya de forma genérica, podemos afirmar que el espectro de resultados va desde n_dados * 1 a n_dados * 6. Actuando de la misma forma que antes, se puede calcular la función de distribución. El problema es que ya hablamos de 216 combinaciones que analizar (6 3 ) , por lo que a mano ya es un suplicio. Lo mejor es, bien programarlo, que es bastante fácil, o calcular la función de probabilidad analítica (algo nada trivial). Sea como sea (lo que enseño ahora se ha obtenido analizando combinaciones), se obtiene lo siguiente: P(3) = 1 / 216 P(4) = 3 / 216 P(5) = 6 / 216 P(6) = 10 / 216 P(7) = 15 / 216 P(8) = 21 / 216 P(9) = 25 / 216 P(10) = 27 / 216 P(11) = 27 / 216 P(12) = 25 / 216 P(13) = 21 / 216 P(14) = 15 / 216 P(15) = 10 / 216 P(16) = 6 / 216 P(17) = 3 / 216 P(18) = 1 / 216 Calculamos la probabilidad de empatar y se obtiene 0.0928. Antes de seguir, vamos a pausar para observar algo. La distribución de probabilidad es una función, así que se puede representar gráficamente. Si lo hiciéramos con la de un dado, como es uniforme, obtendríamos una línea horizontal. Vamos a representar la de 3 dados que acabamos de obtener: Quizá alguien reconozca lo que se representa. Esta distribución de probabilidad se parece sospechosamente a la distribución normal. Me voy a adelantar para mostrar más pistas. En la siguiente gráfica se representan todas las funciones de distribución de probabilidad hasta 12 dados, pero normalizadas para que puedan verse juntas en la misma escala. Para ello, se ha normalizado el eje X a [-1, 1] y se ha escalado el eje Y a [0,1]. De esa forma, podemos comparar las funciones entre sí. Conforme se aumenta la cantidad de dados que se usan, la distribución se asemeja a una misma figura: En esta gráfica he superpuesto la distribución normal (también conocida como Campana de Gauss, descubierta por alguien, que, casualmente, tenía el mismo nombre). La distribución normal sigue esta expresión (de forma simplificada): ¿Y por qué surge este bicho de Satán? Estábamos trabajando con una distribución uniforme y con combinatoria. ¿Por qué el resultado tiene que parecerse a la función normal? Pues es uno de los resultados más importantes, no sólo de la probabilidad, si no de las matemáticas. Cuando hacemos la suma de una cantidad importante de variables independientes y aleatorias, la función de probabilidad de esa suma tiende a la distribución normal. Siempre. A este resultado se lo conoce como Teorema Central del Límite , y es indispensable para toda la ciencia experimental. Da igual lo que se mida, que si la variable que se mide es independiente y aleatoria, va a seguir la distribución normal si se toman las suficientes muestras. Desde la distribución del Cociente Intelectual a la duración de las meadas de una persona. Gracias a ello podemos saber el error que se comete midiendo, si alguna muestra es errónea o si nuestra teoría es errónea. Si lo que obtenemos no es compatible con una distribución normal, algo hemos hecho mal. Bien, volvamos a los dados. Podemos seguir calculando probabilidades para más dados. Si hemos hecho un programa que analice las combinaciones, pronto nos encontraremos un problema: muchas combinaciones. Demasiadas. Para 15 dados, hablas de 6 15 = 4.7018·10 11 combinaciones (casi cinco mil billones). Necesitamos otra estrategia. Lo mejor es conseguir la función de distribución analítica, es decir, la solución general del problema. Lo malo es que se necesita saber de probabilidad avanzada, y es complicado. Como esto ya está siendo muy largo, voy a plantar la solución, como si fuera profesor de física: "n" es el número de dados que se usa en cada tirada, "S" es el número de caras del dado (lo he calculado con número de caras genérico) y T es el valor posible de la tirada. Como hemos dicho antes, el valor puede ir desde n (lanzar n unos) a n·S (lanzar n veces S, que es el valor máximo). Con esta ecuación se puede calcular la probabilidad de cualquier tirada con cualquier cantidad de dados de cualquier cantidad de caras. Usando esta función de probabilidad, se puede calcular la función de probabilidad para una cantidad de dados alta, y como sabemos calcular la probabilidad de sacar dos tiradas idénticas, podemos representar como varía la probabilidad conforme vamos añadiendo dados: Así que, respondiendo a tu pregunta, no, es una mala estrategia añadir dados y sumar sus valores. En contra de lo que indica la intuición, la probabilidad de empatar apenas disminuye.

Mira, hazlo como en los juegos de mesa. Desempata por arriba Tiras 3 dados. Y en cuanto alguien sea el único que ha sacado un número mayor que cualquiera de los otros jugadores, empieza esa persona. El resto de dados se ignoran Si dos o más personas consiguen ese número alto (no tiene por qué ser el 6, puede ser un 5 si nadie ha sacado un 6), entonces se mira el siguiente dado y se repite el proceso (sin tirar otra vez, que para eso tiráis tres dados) (O si no tenéis tantos dados, entonces os los váis pasando y los tiráis de uno en uno, pero con la idea de que el que saque un número más alto que cualquier otro, gana, y el que no haya igualado a los números más altos, se va fuera) Muy raro sería que haya dos personas empatadas en 3 dados

Crazy_Hand Mi pregunta es, ¿cuánto de cierto hay en que tirando más dados se reduce la probabilidad de empatar en la tirada más alta? Bastante. Luego si me da tiempo lo desarrollo más. Pero de manera intuitiva sirve mucho el llevarlo al absurdo o casi al límite. Imagina que tiráis 100 dados. ¿Piensas que íbais a repetir muchos resultados? ¿Y si tiras mil? Otra cosa es que el efecto, con solo tres dados y sumando los puntos, sea el menor de lo esperado. Podías hacerlo viendo quién saca el dado más alto y en caso de empate, mirar el segundo dado más alto. De este modo un 6/6/1 ganaría a un 6/5/5. Os ahorrábais tiempo porque es como hacer tres tiradas a la vez. Saludos 🙂 PS: veo que Poleomenta se me ha adelantado 😁

Si jugais a la suma de los dados, el número más alto, me temo que limitais mucho las probabilidades. Para dos dados, con esa combinacion es lo mismo que tener un dado de 12 caras, la probabilidad de que dos amigos lancen y repitan un número sería 1/12 1/12= 144, ya es poca. Antes con un solo dado era 1/6 1/6= 1/36. Pero claro, eso siendo dos colegas, dos tiradas, cuantos más seáis más sube la probabilidad, por eso con un solo dado os pasaba eso con frecuencia, a poco que seais 6 amigos ya con un dado la posibilidad de que coincida ese número se refuce tanto como si tiraras un sólo dado una vez y que salga ese número. Pero luego está la variable de que no hablamos de que a dos personas les salga un número, si no de que el que se repite sea el más alto, eso ya baja mucho la posibilidad. Y luego está el tiempo que tardarás en leer ésto, que será mayor del que pierdas volviendo a tirar los dados.

Y añado el detalle de que comparar la suma de los puntos es una gilipollez, porque los resultados tienden a acercarse a la media. El método para descartar a los que no igualan la puntuación alta es mejor

Yo uso el método de que empieza el que tiene el rabo mas largo, es un poco machista porque las mujeres no pueden ganar nunca, excepto aquella vez que invitamos a una chavala que acababamos de conocer a jugar y se sacó tremendo pollon, empezó ella (se llamaba en realidad Manolo) por supuesto. espero haberte ayudado

albertobat Antes con un solo dado era ⅙⅙= 1/36 La probabilidad de empatar con un dado es 1/6 (contando los 6 dobles de 36 combinaciones posibles, por ejemplo).

albertobat Antes con un solo dado era ⅙⅙= 1/36. No porque uno de los valores ya lo tienes fijo. La probabilidad de empatar es 1/6 Da igual el primer valor, lo que importa es si la segunda tirada es igual que la primera.

Almendrilla Cierto, lo he hecho pensando en la probabilidad de sacar dos veces el mismo número limitando el número del primer tirador. si vale cualquier número sí, la probabilidad es 6 posibles combinaciones entre 36 posibles, 1/6, pero aquí ya habría que hilar más fino. Dudo mucho que sacar un 1 nos valga en el sistema, ya que si jugamos a sacar el número más alto, el 1 no sería nunca un número válido, el 2 estadísticamente lo sería muy pocas veces y el 6 lo sería siempre. Al final la probabilidad de empatar y de que el empate sea entre los dos números más altos va a ser más baja que 1/6, puesto que quitas combinaciones bajas, (1,1),(2,2)... se quedan fuera, yo sigo creyendo que no hay que quitar del sistema al primer tirador, porque puede que éste no saque un número ganador (que es el que fuerza la situación de repetir tirada, no es sólo un empate sin más), además de tener en cuenta la distribución de posibilidades de los valores del dado para ganar, donde el valor 0 te da un 0% de probabilidad y el 6 un 100%, y por supuesto el número de tiradores que, aunque no sumen combinaciones (dos números altos repetidos ya vale), cuentan como intentos y suben la probabilidad. EL cálculo es chungo.

La pregunta la genera la curiosodad, o realmente os molesta tener que repetir una tirada? Si es lo primero, biemvenida sea, si es lo segundo, putos locos

Duda matemática de probabilidad

Dr_Caligari

Cualquiera que juegue con dados sabrá que la probabilidad es una mentira. Una ilusión.

La realidad es que hay una diosa Fortuna muy hija de puta que se ríe de nosotros.

JohnnyRocket

rgnthm como curiosidad uno de los juegos de rol más clásicos que existen (GURPS) basa su sistema en el lanzamiento de tres dados cada vez que un personaje intenta una acción.

Así en vez lanzar un d20 como en D&D donde siempre tienes alrededor de un 5/20 de probabilidad de sacar algo muy bueno o muy malo, en GURPS un personaje con una habilidad media tiene una campana de gauss casi perfecta, siendo raro que la cague o haga algo increíble.

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